2019年军队院校招生士兵高中数学真题

2019年度军队院校生长军官招生文化科目统一考试

士兵高中数学试题

一、单项选择（每小题 4 分，共 36 分）

1.已知集合则( ).

        A.        B.

        C.Ø        D.

2.设θ∈[0，2π]，则的（ ）

        A.充分而不必要条件        B.必要而不充分条件

        C.充要条件        D.既不充分也不必要条件

3.已知数列是公差为2的等差数列，且a1，a2，a3成等比数列，则前8项和S8等于( )

        A.44        B.64

        C.81        D.255

4.函数的图像大致是（ ）

5.直线x+4y+m＝0交椭圆于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝（ ）

        A.-2        B.-1

        C.1        D.2

6.在区间[1,5]内随机取一个数m,则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的楠圆的概率是（ ）

        A.         B.

        C.        D.

7.复数i(2-i)=（ ）

        A.-1+2i        B.1-2i

        C.1+2i        D.-1-2i

8.用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

        A.24个        B.30个

        C.40个        D.60个

9.设实数a,b,c分别满足alog2a=1,blog3b=1,2c3+c=2,则a,b,c的大小关系为（ ）

        A.a>b>c        B.b>a>c

        C.c>b>a        D.a>c>b

二、填空题（每小题4分，共32分）

10.的值是             。

11.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为             。

12.极限             。

13.sin20°cos10°- cos160°sin10°=              。

14.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人员       人。

15.曲线y=x3-1在x=1处的法线方程为             。

16.在的展开式中，的数是             。

17.关于x的方程：2x-1+2x2+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是             。

三、计算题（共7小题，共82分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

18.(10分）设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,ABC的面积为,求cosA与a的值.

19.(12分）已知函数.

        (1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

        (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

20.(12分）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2,S3=-6.

        (1)求的通项公式；

        (2)求Sn并判断Sn+1 ,Sn ,Sn+2 ,是否成等差数列.

21.(12分）小李到某地在路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是1/3,遇到红灯时停留的时间都是2秒.

        (1)求小李在路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

        (2)小李在路上因遇到红灯停留的总时间至多是4秒的概率.

22.(12分）已知函数.

        (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程；

        (2)在区间[1,2]内至少存在个实数x,使得<0成立，求实数a的取值范围.

23.(12分）设椭圆的右焦点为F,右顶点为A,已知,其中0为原点，e为椭圆的离心率.

        (1)求椭圆的方程；

        (2)设过点A的直线与椭圆交于点B(B不在x轴上）,垂直于的直线与交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线的斜率的取值范围.

24.(12分）在四棱锥P-ABCD中，∠ACD=∠CAB=90°,AD=AC=2 ,PC⊥AD ,PC=PD.

        (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD;

        (2)若AB=CD=PC,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

2019年度军队院校生文化科目统一考试

士兵高中数学试题答案

红兵军考教研中心

《数学》答案与解析

一、 选择题（每小题 4 分，共 36 分） 

1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.B

二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）

10.        1;                11.        ;                12.        2;                13.        ;

14.        10;                15.        ;        16.        207;                17.        .

三、计算题（共7小题，共82 分）

18. (本题满分10分).

解:由三角形面积公式，，故sinA=........................................................ ...2分

因此...............................................4分

(1)当时,由余弦定理得，

因此a=.......................................................... 7分

(2)当cosA=之时,由余弦定理得

.因此a=............................................................ 10分

19. (本题满分12分)

解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于. ①

当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解。..................................2分

当-1≤x≤I时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1; .........................4分

当x>1时,①式化为22+x-4≤0.从而.

所以f(x)≥g(x)的解集为..................................................6分

(2)       当x[-1,1]时，g(x)=2............................................ 8分

所以的解集包含[-1,1].等价于当x[-1,1]时, 恒成立，

即x2-ax-2≤0在[-1,1]上恒成立，...................................... 10分

则只需     , 解得，

           ,

所以a的取值范围为[-1,1]..............................................12分

20. (本题满分12分).

解:(1)设等比数列的公比为q , 由通项公式及前n项和的定义可得

................................................... 3分

解得q=-2，a1 =-2.故的通项公式为............................................................6分

(2)由(1)可得............................................9分

由于

                             ,

故成等差数列............................................. 12分

21. (本题满分12分).

解:(1)设小李在路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.

因为事件A等于事件“小李在第一和第二路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”所以事件A的概率为........................................ 4分

(2)设小李在路上因遇到红灯停留时的总时间军多是4秒为事件B,小李在路上遇到k次红灯为事件B1(k=0,I,2) ,则由题意,得

......................................................6分

.............................................8分

.......................................... 10分

由于事件B等价于“小李在路上至多遇到两次红灯”,所以事件B的概率为

...................................... 12分

22. (本题满分12分).

解:(1)当a=1时,f(x)=x3-x2+10 , f'(x) =3x2 - 2x , f(2)=14.

曲线y =(x)在点(2, f(2) )处的切线斜率k=f'(2) =8,.....................3分

曲线y =f(x)在点(2, f(2) )处的切线方程为了y-14=8(x-2),

即8x-y-2=0. ........................................................... 6分

(2)由题意,在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x) <0成立,则在区间[1,2]  内至少存在一个实数x,使得成立，.......................... 8分

设,则,

.g’(x)<0,

g(x)在[1,2]上是减函数，，................................................. 10 分

, 即实数a的取催范围是,............................................................ 12分

23. (本题满分12分).

解:(1)设F(c.0) , 由即..................................................... 2分

可得, 又所以，...............................................................4分

因此 , 所以椭圆的方程为 ..........................................................6分

(2)设直线的斜率为k(k0) ,则直线的方程为.

设 由方程组                                         消去整理得,

解得x=2或由题意得从而.......................................................... 8分

由(1)知F(1 , 0)，设H(0 , ),有

由BF⊥HF , 得,所以

因此直线MH的方程为................................................... 10 分

设M().由方程组        消去y , 解得

在MAO中, MOA≤MAOl MA I≤I MO I , 即,

化简得.即解得或，

所以,直线I的斜率的取值范围为............................................... 12分

24. (本题满分12分).

解: (1)证明:在ACD中，由ACD=90°及AD =AC=2 , 得AC=CD=,

则△ACD为等腰直角三角形，............................................. 1分

所以ADC =45°

过点P作PE⊥AD,垂足为E,连接CE,

因为PC⊥AD, PEPC=P, 所以AD⊥平面PEC,

又CE平面PEC,则AD⊥CE,............................................. 2分

由ADC =45°可知EC =ED.

而PC=PD, PE=PE, 从而△PED△PEC,

所以PE⊥EC. ......................................................... 4分

又PE⊥AD , 且ECAD=E ,可得PE⊥平面ABCD，.......................... 5分

又PE平面PAD,故平面PAD⊥平面ABCD...................................6分

(2) 由AC=CD及CE⊥AD知E是AD的中点，

如图，建立空间直角坐标系，

则E(0,0,0) , C(1,0,0) , D(0,1,0) , P(0,0,1) , B(1,-2,0) ,

则=(-1,1,0) , =(-I,0,1) , =(-1,2,1) ...................... 8分

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z) ,

则由         ，得                ，

                        ，

令x=1，则n=(1,1,1)，............................................... 10分

设直线PB与平面PCD所成的角为θ,

则

故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为............................ 12分