2018年军队院校招生士兵高中数学真题

2018年度军队院校生长军官招生文化科目统一考试

士兵高中数学试题

一、单项选择（每小题 4 分，共 36 分）

1.设集合S= {a，b，c，d，e}，则包含元素a，b的S的子集共有     .

        A.2 个         B.3 个

        C.4 个         D.8 个

2.下列函数中，满足“f(x+ y)= f(x)f(y)”的单调递增函数是     .

        A.         B.

        C.         D.

3.设a, b为正实数，则“a > b > 1”是“log2a > log2b > 0”的     .

        A.充要条件         B.充分不必要条件

        C.必要不充分条件         D.既不充分也不必要条件

4.若a > 0，b > 0，且函数f(x) = 4x3−ax2−2bx+2在x = 1处有极值，则ab的最大值等于     .

        A.9         B.6

        C.3         D.2

5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为     .

        A.        B.

        C.        D.        

6.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24，S6= 48，则{an}的公差为     .

        A.1         B.2

        C.4         D.8

7.在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2 个小球，则取出的小球标注的数字之和是 3 或 6 的概率是     .

        A.        B.        

        C.        D.        

8.若直线a∥平面，直线b∥平面，则a与b的位置关系是      .

        A.平行         B.相交

        C.异面         D.以上都有可能

9.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1，3)，则b的值为     .

        A. 3         B.−3

        C. 5         D. −5

二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）

10.设，的夹角为120°，|| = 1，|| = 3，则|3−| =             .

11.设为第二象限角，若tan(+) =，则sin+ cos=             .

12.若双曲线C:(a > 0，b > 0)的一条渐近线被圆(x − 2)2 + y2 = 4所截得的弦长为 2，则C的离心率为             .

13.若曲线y = 2x2的一条切线l与直线x + 4y − 8 = 0垂直，则切线l的方程为               .

14.若展开式中存在常数项，则n的最小值是             .

15.有 3 位司机，6 位售票员分配到 3 辆公共汽车上工作，每一辆汽车分别有一位司机和两位售票员，那么所有不同的分配方法有             种.

16.在极坐标系中，点（2，）到直线sin = 2的距离等于             .

17. 若复数(1 + mi)(3 + i)（i是虚数单位，m是实数）是纯虚数，则复数的模等于             .

三、解答题（共 7 小题，共 82 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

18.（8 分）已知f(x) = 2x2 + bx + c，不等式f(x) < 0的解集是（0，5）.

        （1）求f(x)的解析式；

        （2）对于任意x ∈ [−1，1]，不等式f(x) + t ≤ 2恒成立，求t的取值范围.

19.（10 分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a + c = 6，b = 2，cosB =.

        （1）求a，c的值；

        （2）求sin(A − B)的值.

20.（12 分）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x) = 2x的图像上(n∈N∗).

        （1）若a1 = −2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；

        （2）若a1 = 1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为，求数列的前n项和Sn.

21.（12 分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：

        （1）至少有 1 人面试合格的概率；

        （2）签约人数的分布列和数学期望.

22.（14 分）已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于 A、 B 和 C、D，设△AOC的面积为S.

（1）设A(x1，y1)，C(x2，y2)，用A、C的坐标表示点C到直线的距离，并证明

;

（2）设：y = kx，C ()，S =，求k的值；

（3）设与的斜率之积为m，求m的值，使得无论与如何变动，面积S保持不变.

23.（12 分）某店销售进价为 2 元/件的产品A，该店产品A每日的销量y（单位：千件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式，其中2 < x < 6.

（1）若产品A销售价格为 4 元/件，求该店每日销售产品A所获得的的利润；

（2）试确定产品A的销售价格，使该店每日销售产品A所获得的的利润最大（保留 1 位小数）.

24.（14 分）如图所示，在三棱锥P − ABC中，PA ⊥底面ABC，∠BAC = 90°.点D，E，F分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA = AC = 4，AB = 2.

（1）求证：MN∥平面BDE；

（2）求二面角C − EM − N的正弦值；

（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.

2018年度军队院校生文化科目统一考试

士兵高中数学试题答案

红兵教育军考研究院

《数学》答案与解析

一、选择题（每小题 4 分，共 36 分）

1.D  2.C  3.A  4.A  5.B  6.C  7.B  8.D  9.A

二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）

10.       11.       12.2 13.

14.5 15.540 16.1 17.

三、解答题（共 7 小题，共 82 分）

18.本题满分8分

解：（1）不等式的解集为（0，5）

方程的两根为0，5

，即

故。

（2）       ，不等式恒成立，只需即可

     ，.故12 ≤ 2 -t ，即t≤ -10。

    19.本题满分 10 分

解：（1）由余弦定理，得

又，所以ac=9

解得a=3,c=3

（2）在中，，

由正弦定理得，

因为a=c，所以A为锐角，所以，

因此因此

20.本题满分12分

解：（1）因为点在函数的图像上，所以，

可得，

因为点在函数f(x)的图像上，所以

所以，又，所以数列的前n项和为

（2）由，所以函数f(x)的图像在点处的切线方程为，

故切线在x轴上的截距为，从而，故

从而，

上式两边同乘以，可得

两式右边错项相减可得

故

21.本题满分 12 分.

解：用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格，由题意可知A、B、C相互独立，且

P(A)=P(B)=P(C)=

(1)       至少有1人面试合格的概率是

(2)       的可能取值为0，1，2，3.

  所以，的分布如下表

的期望是

 22.本题满分14分

解 ：（1）直线的方程为，由点到直线的距离公式可知点C到直线的距离为，

因为，所以，

（2）由，消去y解得

由（1）得

由题意知

解得或。

（3）设，，则，设，

由，得

同理，

由（1）知，

，

整理得

由题意知S与无关，

则，解得

23.本题满分12分

解：（1）当x=4时，

此时该店每日销售产品A所获得的利润为千元

（2）该店每日销售产品A所获得的利润为

从而，

令，得，易知在上，，函数f(x)单调递增；

在上，，函数f(x)单调递减；

所以是函数f(x)在（2，6）内得极大值点，也是最大值点。

即当≈3.3时，函数f(x)取得最大值。

故当销售价格为3.3元/每件时，利润最大。

24.本题满分14分

（1）证明;取AB中点F，连接MF、NF，

∵M 为 AD 中点，∴

    为中点，,

又分别为的中点，.

又

（2）解：

以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1）， N（1，2，0），E（0，2，2），则

设平面MEN的一个法向量为,

   由，得取z=2，得

   由图由图可得平面CME的一个法向量为= (1，0，0)．

   二面角C-EM-N得余弦值为，则正弦值为

   （3）解：设AH=t，则H(0,0,t),

   直线NH与直线BE所成角得余弦值为

   解得：

   线段AH的长为或