2017年军队院校招生士兵高中数学真题

2017年度军队院校生长军官招生文化科目统一考试

士兵高中数学试题

一、单项选择（每小题 4 分，共 36 分）．

1. 设集合 A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则 A∪B=（ ）

        A．（﹣1，1）         B．（0，1）

        C．（﹣1，+∞）         D．（0，+∞）

2. 已知函数 f（x）=ax+logax（a＞0 且 a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（loga2）+6，则 a 的值为（ ）

        A．         B． 

        C．2         D．4

3. 设、是向量，则||=||是| +|=| -|的（ ）

        A.充分不必要条件         B.必要不充分条件

        C.充要条件         D.既不充分也不必要条件

4．已知，则（ ）

        A．b<a<c         B．a<b<c

        C．b<c<a         D．c<a<b

5. 设 F 为抛物线 C：y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）

        A．         B．         

        C．         D．

6. 设数列{an}是首项为 a1、公差为-1 的等差数列，Sn为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1=（ ）

        A．2         B． 

        C．﹣2        D．﹣

7. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ）

        A．         B． 

        C．         D．1

8. 已知 A，B，C 点在球 O 的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，则球 O 的表面积为（ ）

        A．12π         B．16π

        C．36π         D．20π

9. 已知，则x0 =（ ）

        A. e2        B.1

        C. ln 2         D.e

二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）

10. 设向量，且，则 m=              ．

11. 设 tanα，tanβ 是方程 x2﹣3x+2=0 的两个根，则 tan（α+β）的值为          ．

12. 已知 A、B 为双曲线 E 的左右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为               ．

13. 已知函数，则=                    ．

14. 在的展开式中 x7的项的系数是           ．

15. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架“歼﹣15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是_______。

16. 在极坐标系中，直线 ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于 A，B 两点，则|AB|=_______．

17. 已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k≥2，k 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n=          时等式成立．

三、解答题（共 7 小题，共 82 分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

18.（本小题 8 分）对任意实数 x，不等式恒成立，求实数 p 的取值范围。

19.（本小题 12 分）已知向量.

        （1）求值；

        （2）若，且，求的值.

20、（12 分）已知数列{an}中，a1=1，二次函数的对称轴为．

        （1）试证明{2nan}是等差数列，并求{an}通项公式；

        （2）设{an}的前 n 项和为 Sn，试求使得 Sn＜3 成立的 n 值，并说明理由．

21、（10 分）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

        方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

        方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验．

        （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

        （Ⅱ）ξ 表示依方案乙所需化验次数，求 ξ 的期望．

22、（12 分）已知函数 f（x）=ax+bsinx，当时，f（x）取得极小值．

        （1）求 a，b 的值；

        （2）设直线 l：y=g（x），曲线 S：y=f（x）．若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件：

        ①直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点；

        ②对任意 x∈R 都有 g（x）≥f（x）．则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线”．试证明：直线 l：y=x+2 为曲线 S：y=ax+bsinx“上夹线”．

23、（14 分）已知圆 M：x2+（y﹣4）2=4，点 P 是直线 l：x﹣2y=0 上的一动点，过点 P 作圆 M 的切线 PA，PB，切点为 A，B．

        （1）当切线 PA 的长度为时，求点 P 的坐标；

        （2）若△PAM 的外接圆为圆 N，试问：当 P 在直线 l 上运动时，圆 N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．

        （3）求线段 AB 长度的最小值．

24、（14 分）如图，在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点．

        （Ⅰ）求证：MN∥平面 ABCD

        （Ⅱ）求二面角 D1﹣AC﹣B1 的正弦值；

        （Ⅲ）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段 A1E 的长．

2017年度军队院校生文化科目统一考试

士兵高中数学试题答案

红兵教育军考研究院

《数学》答案与解析

一、单项选择题（本大题共 9小题，每小题4分，共36分）

1-5 CCDAD 6-9 DBAB

二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

10．-2 11．-3 12．         13． 

14．-56 15.24 16.2 17. k+2

3.       解答题（本大题共7小题，共82分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.（1）解：

原不等式可化为

由①得对一切均成立，

由②得对一切均成立，

于是由③、可知：当时，原不等式对一切恒成立。

19.解：（1），将向量，代入上式得，。

（2）。

由,得，又，

故。

20、（12分）

（1）二次函数得对称轴为，

，是以2为公差得等差数列，

。

（2）

.

两式相减得，

，

分别画出函数数 y=x+2（x＞0），与的图象，如图所示

由图象可知，当 n=1，2，3 时，Sn＜3 成立。

21、（10分）

解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：

①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：

②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）

,乙只用两次的概率为。

若乙验三次时，只有一种可能：

先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：

（П）表示依方案乙所需化验次数，的期望为

22、（12 分）

解：（1），

而由已知得：，

此时 f（x）=x﹣2sinx，∴f′（x）=1﹣2cosx，

当 x∈（0， ）时，f′（x）＜0，当x∈（， ）f′（x）>0

∴当 x= 时，f（x）取得极小值 -，即 a=1，b=﹣2 符合题意；

（2）证明：由 f′（x）=1﹣2cosx=1，得 cosx=0，

当 x=﹣ 时，cosx=0，此时

是直线与曲线S的切点。

当 x=﹣ 时，cosx=0，此时，

    ∴（， ）也是直线 l 与曲线 S 的切点；

∴直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点，

对任意 x∈R，g（x）﹣f（x）=（x+2）﹣（x﹣2sinx）=2+2sinx≥0

即 g（x）≥f（x），因此直线 l：y=x+2 为曲线 S：y=x﹣2sinx“上夹线”．

23、（14 分）

解：（1）由题意知，圆 M 的半径 r=2，M（0，4），设 P（2b，b），

∵PA 是圆 M 的一条切线，∴∠MAP=90°，

,解得或

（2）设 P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过 A，P，M 三点的圆 N 以 MP 为直径，

其方程为，即

（2x+y﹣4）b-（x2+y2﹣4y）=0，

由，解得或，∴圆过定点（0，4），。

（3）因为圆 N 方程为

即 x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，圆 M：x2+（y﹣4）2=4，即 x2+y2﹣8y+12=0，

②﹣①得：圆 M 方程与圆 N 相交弦 AB 所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，

点 M 到直线 AB 的距离，

相交弦长即：

当时，由最小值。

24、（14 分）

（Ⅰ）证明：如图，以 A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，

则 A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），

又∵M、N 分别为 B1C、D1D 的中点，

由题可知：=（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量，（0，﹣ ，0），

;

（Ⅱ）解：由（I）可知=（1，﹣2，2）,（2，0，0），（0，1，2）

设=（x，y，z）是平面 ACD1的法向量，

由,得，取z=1，得=（0，1，1）

设=（x，y，z）是平面 ACB1的法向量，

由,得，取z=1，得=（0，-2，1）

整理，得，解得 λ= ﹣2 或﹣2﹣ （舍），

∴线段 A1E 的长为 ﹣2.