2016年军队院校招生士兵高中数学真题

2016年度军队院校生长军官招生文化科目统一考试

士兵高中数学试题

一、选择题，本题共有9个小题，每小题 4 分.

1.已知集合则( ).

        A.        B.

        C.Ø        D.

2.在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数，且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在区间[1，2]上是减函数，则 f(x)（ ）

A.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

        B.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

        C.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

        D.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

3.已知集合，则“a=3”是“”的( )

        A.充分不必要条件        B.必要不充分条件

        C.充要条件        D.既不充分也不必要条件

4.若，的最小值是（ ）

        A. 2        B.         

        C.         D.

5.双曲线的离心率为，则实数m的值是（ ）

        A.9        B.-9

        C.        D.18

6.若数列是首项为 1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为 a，则 a 的值是（ ）

        A. 1        B. 2

        C.        D.

7.从集合{2，3，4，5}中随机取一个数 a，从集合{1，3， 5}中随机取一个数 b，则向量与向量垂直的概率为（ ）

        A.        B.

        C.        D.

8.已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，则点 O 到底面 ABC 的距离为（ ）

        A.        B.

        C.        D.

9.若，则常数 a，b 的值分别为（ ）

        A.a=-2, b=4        B.a=2, b=-4

        C.a=-2, b=-4        D.a=2, b=4

二、（32 分）本题共有 8 个小题，每个小题 4 分．只要求写出结果

1.已知且           .           .

2.若，则             。

3.设θ∈[0，2π），则点P（1,1）到直线 x·cosθ+y·sinθ=2 的最大距离是             。

4.若函数 f（x）=x3-3x 在（a，2）内有最小值，则实数 a 的取值范围是              。

5.设f（x）是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数m的取值范围是       人。

6.若 a∈{1，2，3，4，5}，b∈{1，2，3，4，5，6，7} ，则方程表示不同椭圆的个数为             。

7.圆与直线的位置关系是             。

8.若 a，b 为方程的两根，则的值为             。

三、（16 分）计算题，本题共有 2 个小题．

1.（本小题 6 分）若不等式5-x>7|x+1|与不等式的解集相同，求a ，b的值。

2.（本小题 10 分）设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且．

        （1）求角 A 的大小；

        （2）若角，BC 边上的中线 AM 的长为,求△ABC 的面积.

四、（12分）设数列{an}满足 a1=2，a2+a4=8，且对任意 n∈N*，函数 f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1cosx﹣an+2sinx

满足=0

        （1）求数列{an}的通项公式；

        （2）若 bn=2（an+）求数列{bn}的前 n 项和 Sn．

五、(14分）某旅经上级批准进行营区建设，工程从 2013 年底开工到 2016 年底完工，分三期完成，经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立完成，必须在建完前一期工程后再建后一期工程，已知甲公司获得第一期，第二期，第三期工程承包权的概率分别是.

        （1）求甲乙两公司均至少获得 l 期工程的概率；

        （2）求甲公司获得的工程期数的分布列和数学期望

六、(13分）设 x1，x2（x1≠x2）是函数 f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．

        （1）若 x1=-1，x2=2，求函数 f（x）的解析式；

        （2）若，求 b 的最大值．

七、(13分）已知抛物线 C 的标准方程式为，M 为抛物线 C 上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N，当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为。

        （1）求抛物线 C 的标准方程；

        （2）记，若 t 值与 M 点的位置无关，则称此时的点 A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”；若没有，请说明理由。

八、（14 分）在四棱锥 A-BCED 中，如图所示，AC，BC，EC 两两垂直且长度都为4，BD=1，EC∥BD。

（1）求此几何体的体积；

（2）求异面直线 DE 与 AB 所成角度的余弦值；

（3）探究在 DE 上是否存在点 Q，使得 AQ⊥BQ，并说明理由。

2016年度军队院校生文化科目统一考试

士兵高中数学试题答案

红兵教育军考研究院

《数学》答案与解析

一、单项选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分）

1-5 BDABC 6-9 BADC

二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）

1.       2.      3.      4.

5.               6.30 7.相切或相离 8.

三、解答题（本大题共2小题，共26分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1.解： 解得

依题意，不等式的解集为

。

2.解：（1）因为，

        所以

则, 所以, 于是

(2)由（1）知,所以 

在中，由余弦定理得：

 即

解得，故。

四、（12分）

（1）因为

故

所以

即

是等差数列

由，解得：，公差

；

（2）

故。

五、（14分）

记事件：“甲乙两工程公司各至少获得一期工程”为事件 A，记事件：“甲乙两工程公司各至少获得一期工程的对立事件”为，则

（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3

，

其分布列为

六、（13分）

由可得

（1）依题意有即

注意到,解得， 故；

（2）∵是函数的两个极值点，

又因为，两边平方可得：

整理得: 把式代入并化简可得：

为求b的最大值，先考虑的最大值，即求函数的最大值

注意到，所以可得，令可得

令可得

即函数在区间（4，6）上是减函数，故当a=4时，g(a)取得最大值且

从而b的最大值为。

七．（13 分）

（1）由题意，

故抛物线C的方程为

（2）设，直线的方程为

联立得

由对称性，不妨设

（i）       时，同号，

又

不论a取何值，t均与m有关，即时，A不是“稳定点”

（ii）a>0时，同号，

又

，所以，仅当。

即时，与无关，此时即抛物线的焦点，即抛物线对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”。

八、

（1）由该几何体的三视图知,且

 。

即该几何体的体积为。

   （2）解法1：过点作交于,连接

则或者其补角即为异面直线与所成的角。

在中，,。

。

即异面直线与所成的角的余弦值为。

解法2：以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系。

则 ,

∴异面直线与所成的角的余弦值为。

以为原点，以所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。

设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m,n），则

① 点在上，存在

使得

②

②代入①得解得

满足题设的点存在，其坐标为