2015年军队院校招生士兵高中数学真题
2015年度军队院校生长军官招生文化科目统一考试
士兵高中数学试题
一．（36 分）选择题，本题共有 9 个小题，每个小题都给出代号为 A，B，C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，将正确的结论代号写在答题纸指定位置上，选对得 4 分，选错、不选或多选一律得 0 分．
1.设集合
，集合
，若
，则
______
A．{1,2,4} B．{1,2,5}
C．{1,2,3} D．{2,3,5}
2.已知
是定义在 R 上的偶函数，它在
上递减，那么一定有______
A．
B．
C．
D．
3.“k=h”是“直线y=x+2与圆
切”的______
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．若
则有______
A．
B．
C．
D．
5.已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2，△POQ 的面积为
，则 P=______
A．4 B．3
C．1 D．2
6.等差数列
中，
，数列
等比数列，且
，则
的值为______
A．4 B．6
C．12 D． 16
7.连续两次掷骰子得到的点数分别为m和n，若记向量
与
的夹角为
，则
为锐角的概率是____
A．
B．
C．
D．
8.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为 2cm 的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为
cm 的正方形，侧棱与地面垂直，则该四棱柱的表面积为______
A．
B．
C．
D．
9.已知
，若
，则 ab=______.
A.-1 B.1
C.-m D.m
二、(32 分)填空题，本题共有 8 个小题，每个小题 4 分，只要求给出结果，并将结果写在答题纸指定位置上．
1.已知向量
满足：
，且
，则向量
与
的夹角是_______．
2.若
，则
_______．
3.若直线
始终平分圆
，则
的最小值为_______．
4.已知函数
，则函数
在
处的切线方程是______________．
5.设
二项展开式各项系数之和为 A，二项式系数之和为 B，若 A-B=240，则该二项展开式中常数项为___________．
6.一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1,2,3 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子，共取 3 次，则取得小球标号最大值是 3 的取法有_______种。
7.已知 PQ 是圆
的弦，PQ 的中点是
，则直线 PQ 的方程是______________．
8. 已知
且
，则
______________．
三、（16 分）计算题，本题共有 2 个小题．
1.（本小题 6 分）解不等式
2.（本小题 10 分）在三角形 ABC 中，角 A,B,C 对应的边分别是 a、b、c，已知 cos2A-3cos(B+C)=1
（1）求角 A 的大小；
（2）若三角形面积
，求 sinBsinC 的值.
四、（12 分）已知数列
的前 n 项和
，数列
满足
，且
。
（1）求数列
，
的通项公式；（2）若
，求数列
的前 n 项和
。
五、（14 分）袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为七分之一，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 ξ 表示取球终止所需要的取球次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量 ξ 的概率分布和数学期望；
（3）求甲取到白球的概率．
六、（12 分）已知函数
（a，c，d∈R）满足 f（0）=0，f′（1）=0，且 f′（x）≥0 在 R 上恒成立．
（1）求 a，c，d 的值；
（2）若
，解不等式 f′（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数 m，使函数 g（x）=f′（x）﹣mx 在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
七、（12 分）已知椭圆 C： 
（a＞b＞0）的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
。
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线
与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线
的距离为
，求△AOB 面积的最大值。
8. （14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为 AC 的中点，PO⊥底面 ABCD，PO=2，M 为 PD 的中点。
（1）证明：PB∥平面 ACM；
（2）证明：AD⊥平面 PAC；
（3）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值。
2015年度军队院校生文化科目统一考试
士兵高中数学试题答案
红兵教育军考研究院
《数学》答案与解析
一、选择题
1-5 B A A B D 6-9 D B D C
二、填空题
1.120° 2.
3.
4.
5.-20 6.19 7.
8.2
3. 计算题
1.若
Ø；
若
，
；
若
，
，
；
综上所述，解集为
2.（1）
（舍去）
（2)
,
余弦定理
正弦定理
正弦定理
四、
（1）
相减得
，又
所以
是等比数列，首相1，公比
，所以
;
是等差数列；
又
综上，
，
（2）
= 
相减得
五、
（1） 设袋子里原有n个白球，据题意
，即袋中原有3个白球；
, 
, 
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
|
（3）假取到白球的概率
.
六、
（1）
在R上恒成立，
，又
（2）
当
时，解集为
；
当
时，解集为Ø
当
时，解集为
；
（2） 假设存在实数m，使函数
在区间
上有最小值-5；
，对称轴
①当
，即
时，
，
，
不舍题意，舍去；
②当
即
时，
舍去
当
即
时，
，解得
（舍）或
综上所述，存在实数
或
满足题意。
七、
（1)据题意，
所以椭圆C的方程为
；
（2）设直线L方程为y=kx+m
原点O到直线L的距离为
；
代入
得
下面求
的最大值；
令
当
时
，
在
递增
当
时
，
在
递减；
∴u在
q取得最大值
面积的最大值为
当K不存在时，设直线L方程为
，
，代入椭圆得
此时
综上所述，
面积的最大值为
。
八、
（1）证明：链接BD，MO
因为M为PD中心，O为BD中心，在
中，据中位线定理得
∥
,
在平面
外，所以
∥平面
；
（2） 证明：因为
,
,所以
;
,
在底面
内，所以
，又
,所以
（3） 取
中点
,连接
,则
∥平面
，连接
,则
就是直线
与平面
所成角；
，在直角
中，
,
所以
即直线
与平面
所成角得正切值为
